PERTIDAKSAMAAN MUTLAK, PECAHAN DAN IRASIONAL

PERTIDAKSAMAAN MUTLAK, PECAHAN DAN IRASIONAL

PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK, PECAHAN DAN IRRASIONAL

Sifat-Sifat Pertidaksamaan

tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama
Jika a < b maka:

a + c < b + c

a – c < b – c

tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama
Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka:

a.c < b.c

a/b < b/c

tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama
Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka:

a.c > b.c

a/c > b/c

tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas positif masing-masing dikuadratkan
Jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka: a2 < b2



Pertidaksamaan Linear

→ Variabelnya berpangkat 1
Penyelesaian:
Suku-suku yang mengandung variabel dikumpulkan di ruas kiri, dan konstanta diletakkan di ruas kanan
Contoh:
http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/07/picture1.gif?w=500

Pertidaksamaan Kuadrat

→ Variabelnya berpangkat 2
Penyelesaian:

Ruas kanan dibuat menjadi nol
Faktorkan
Tentukan harga nol, yaitu nilai variabel yang menyebabkan nilai faktor sama dengan nol
Gambar garis bilangannya
Jika tanda pertidaksamaan ≥ atau ≤, maka harga nol ditandai dengan titik hitam •

Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol ditandai dengan titik putih °

Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval di garis bilangan. Caranya adalah dengan memasukkan salah satu bilangan pada interval tersebut pada persamaan di ruas kiri.
Tanda pada garis bilangan berselang-seling, kecuali jika ada batas rangkap (harga nol yang muncul 2 kali atau sebanyak bilangan genap untuk pertidaksamaan tingkat tinggi), batas rangkap tidak merubah tanda

Tentukan himpunan penyelesaian
→ jika tanda pertidaksamaan > 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (+)

→ jika tanda  pertidaksamaan < 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (–)

Contoh:
(2x – 1)2 ≥ (5x – 3).(x – 1) – 7
4x2 – 4x + 1 ≥ 5x2 – 5x – 3x + 3 – 7
4x2 – 4x + 1 – 5x2 + 5x + 3x – 3 + 7 ≥ 0
–x2 + 4x + 5 ≥ 0
–(x2 – 4x – 5) ≥ 0
–(x – 5).(x + 1) ≥ 0
Harga nol: x – 5 = 0 atau x + 1 = 0
x = 5 atau x = –1
Garis bilangan:

menggunakan titik hitam karena tanda pertidaksamaan ≥
jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif
karena 0 berada di antara –1 dan 5, maka daerah tersebut bernilai positif, di kiri dan kanannya bernilai negatif
karena tanda pertidaksamaan ≥ 0, maka yang diarsir adalah yang positif
http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/07/garis_01.jpg?w=500
Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 5}

Pertidaksamaan Tingkat Tinggi

→ Variabel berpangkat lebih dari 2
Penyelesaian sama dengan pertidaksamaan kuadrat
Contoh:
(2x + 1)2.(x2 – 5x + 6) < 0
(2x + 1)2.(x – 2).(x – 3) < 0
Harga nol: 2x + 1 = 0 atau x – 2 = 0 atau x – 3 = 0
x = –1/2 atau x = 2 atau x = 3
Garis bilangan:

menggunakan titik putih karena tanda pertidaksamaan <
jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif
karena 0 berada di antara –1/2 dan 2, maka daerah tersebut bernilai positif
karena –1/2 adalah batas rangkap (–1/2 muncul sebanyak 2 kali sebagai harga nol, jadi –1/2 merupakan batas rangkap), maka di sebelah kiri –1/2 juga bernilai positif
selain daerah yang dibatasi oleh batas rangkap, tanda positif dan negatif berselang-seling
karena tanda pertidaksamaan ³ 0, maka yang diarsir adalah yang positif
http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/07/garis_02.jpg?w=500
Jadi penyelesaiannya: {x | 2 < x < 3}

Pertidaksamaan Pecahan

→ ada pembilang dan penyebut
Penyelesaian:

Ruas kanan dijadikan nol
Samakan penyebut di ruas kiri
Faktorkan pembilang dan penyebut (jika bisa)
Cari nilai-nilai variabel yang menyebabkan pembilang dan penyebutnya sama dengan nol (harga nol untuk pembilang dan penyebut)
Gambar garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan pada langkah 4
Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut selalu digambar dengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai)

Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval
Contoh 1:
http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/07/picture2.gif?w=500
Harga nol pembilang: –5x + 20 = 0
–5x = –20 → x = 4
Harga nol penyebut: x – 3 = 0 → x = 3
Garis bilangan:
→ x = 3 digambar menggunakan titik putih karena merupakan harga nol untuk penyebut
http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/07/garis_03.jpg?w=500
Jadi penyelesaiannya: {x | 3 < x ≤ 4}

Contoh 2:
http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/07/picture3.gif?w=500
Harga nol pembilang: x – 2 = 0 atau x + 1 = 0
x = 2 atau x = –1
Harga nol penyebut: tidak ada, karena penyebut tidak dapat difaktorkan dan jika dihitung nilai diskriminannya:
D = b2 – 4.a.c = 12 – 4.1.1 = 1 – 4 = –3
Nilai D-nya negatif, sehingga persamaan tersebut tidak mempunyai akar real
(Catatan: jika nilai D-nya tidak negatif, gunakan rumus abc untuk mendapat harga nol-nya)
Garis bilangan:
http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/07/garis_04.jpg?w=500
Jadi penyelesaiannya: {x | x ≤ –1 atau x ≥ 2}

Pertidaksamaan Irasional/Pertidaksamaan Bentuk Akar

→ variabelnya berada dalam tanda akar
Penyelesaian:

Kuadratkan kedua ruas
Jadikan ruas kanan sama dengan nol
Selesaikan seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear/kuadrat
Syarat tambahan: yang berada di dalam setiap tanda akar harus ≥ 0
Contoh 1:
http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/07/picture4.gif?w=500
Kuadratkan kedua ruas:
x2 – 5x – 6 < x2 – 3x + 2
x2 – 5x – 6 – x2 + 3x – 2 < 0
–2x – 8 < 0
Semua dikali –1:
2x + 8 > 0
2x > –8
x > –4
Syarat 1:
x2 – 5x – 6 ≥ 0
(x – 6).(x + 1) ≥ 0
Harga nol: x – 6 = 0 atau x + 1 = 0
x = 6 atau x = –1
Syarat 2:
x2 – 3x + 2 ≥ 0
(x – 2).(x – 1) ≥ 0
Harga nol: x – 2 = 0 atau x – 1 = 0
x = 2 atau x = 1
Garis bilangan:
http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/07/garis_05.jpg?w=500
Jadi penyelesaiannya: {x | –4 < x ≤ –1 atau x ≥ 6}

Contoh 2:
http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/07/picture5.gif?w=500
Kuadratkan kedua ruas:
x2 – 6x + 8 < x2 – 4x + 4
x2 – 6x + 8 – x2 + 4x – 4 < 0
–2x + 4 < 0
–2x < –4
Semua dikalikan –1
2x > 4
x > 2
Syarat:
x2 – 6x + 8 ≥ 0
(x – 4).(x – 2) ≥ 0
Harga nol: x – 4 = 0 atau x – 2 = 0
x = 4 atau x = 2
Garis bilangan:
http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/07/garis_06.jpg?w=500
Jadi penyelesaiannya: {x | x ≥ 4}

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

→ variabelnya berada di dalam tanda mutlak | ….. |
(tanda mutlak selalu menghasilkan hasil yang positif, contoh: |3| = 3; |–3| = 3)
Pengertian nilai mutlak:
http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/07/picture6.gif?w=500
Penyelesaian:
Jika |x| < a berarti: –a < x < a, dimana a ≥ 0
Jika |x| > a berarti: x < –a atau x > a, dimana a ≥ 0

Contoh 1:
|2x – 3| ≤ 5
berarti:
–5 ≤ 2x – 3 ≤ 5
–5 + 3 ≤ 2x ≤ 5 + 3
–2 ≤ 2x ≤ 8
Semua dibagi 2:
–1 ≤ x ≤ 4

Contoh 2:
|3x + 7| > 2
berarti:
3x + 7 < –2 atau 3x + 7 > 2
3x < –2 – 7 atau 3x > 2 – 7
x < –3 atau x > –5/3

Contoh 3:
|2x – 5| < |x + 4|
Kedua ruas dikuadratkan:
(2x – 5)2 < (x + 4)2
(2x – 5)2 – (x + 4)2 < 0
(2x – 5 + x + 4).(2x – 5 – x – 4) < 0    (Ingat! a2 – b2 = (a + b).(a – b))
(3x – 1).(x – 9) < 0
Harga nol: 3x – 1 = 0 atau x – 9 = 0
x = 1/3 atau x = 9
Garis bilangan:
http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/07/garis_07.jpg?w=500
Jadi penyelesaiannya: {x | 1/3 < x < 4}

Contoh 4:
|4x – 3| ≥ x + 1
Kedua ruas dikuadratkan:
(4x – 3)2 ≥ (x + 1)2
(4x – 3)2 – (x + 1)2 ≥ 0
(4x – 3 + x + 1).(4x – 3 – x – 1) ≥ 0
(5x – 2).(3x – 4) ≥ 0
Harga nol: 5x – 2 = 0 atau 3x – 4 = 0
x = 2/5 atau x = 4/3
Syarat:
x + 1 ≥ 0
x ≥ –1
Garis bilangan:
http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/07/garis_08.jpg?w=500
Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 2/5 atau x ≥ 4/3}

Contoh 5:
|x – 2|2 – |x – 2| < 2
Misalkan |x – 2| = y
y2 – y < 2
y2 – y – 2 < 0
(y – 2).(y + 1) < 0
Harga nol: y – 2 = 0 atau y + 1 = 0
y = 2 atau y = –1
Garis bilangan:
http://learnwithalice.files.wordpress.com/2011/07/garis_09.jpg?w=500
Artinya:
–1 < y < 2
–1 < |x – 2| < 2
Karena nilai mutlak pasti bernilai positif, maka batas kiri tidak berlaku
|x – 2| < 2
Sehingga:
–2 < x – 2 < 2
–2 + 2 < x < 2 + 2
0 < x < 4


sumber : http://fotocopygue.blogspot.com/2017/02/pertidaksamaan-nilai-mutlak-pecahan-dan.html

Share:

Read More

EKSPONEN DAN LOGARITMA

EKSPONEN DAN LOGARITMA

Fungsi Eksponen dan Logaritma Matematika – Bentuk eksponen juga dapat disebut sebagai bentuk eksponensial maupun perpangkatan, dengan ini disebut basis maupun bilangan pokok dan n disebut juga eksponen maupun pangkat. ciri-ciri yang berlaku dalam bilangan berpangkat rasional diantaranya yaitu:

cermati soal-soal berikut ini :

Hitunglah hasil perpangkatan 0,008·²

jawabanya:

(0,008)·² adalah (1/125)·²

= (1/5³)·²

= (5·³)·²

= 5^6 adalah 15.625

Persamaan Eksponen

Persamaan eksponenjuga dapat disebut adalah suatu persamaan yang pangkatnya, bilangan pokoknya, maupun bilangan pokok dan eksponennya memuat suatu variabel.

Bentuk persamaan eksponen yangkita akan pelajari yakni sebagai berikut:

Bentuk persamaan a^f(x)=1

contohnya:juga terdapat persamaan a^f(x)=1 dengan a>0 dan a?1, untuk dapat menentukan himpunan penyelesaian bentuk persamaan tersebut akan digunakan sifat bahwa :

a^f(x) = 1 ?f(x)=0

Bentuk persamaan a^f(x) = a^p

contohnya:juga terdapat persamaan a^f(x) = a^p, dengan a>0 dan a?1.setelah itu, Himpunan penyelesaian bentuk persamaan eksponen diatas akan ditentukan dengan cara yang menyamakan pangkat ruas kiri maupun ruas kanan.

a^f(x)= a^p ? f(x) = p

Bentuk persamaan a^f(x) adalah a^g(x)

contohnya:juga terdapat persamaan a^f(x) = a^g(x) dengan a>0 dan a?1.sebab itu, Himpunan penyelesaian persamaan diatas juga dapat ditentukan dengan cara menyamakan persamaan pangkatnya. jadi kita dapat lihat dibawah ini yakni :

a^f(x) = a^g(x) ? f(x) = g(x)

Bentuk Persamaan a^f(x) = b^f(x)

contohnya: terdapat persamaan a^f(x) = b^f(x), dengan a?b ;a,b >0 ; a,b ?1. Himpunan penyelesaian persamaan eksponen ialah dapat ditentukan dengan cara yang menyamakan f(x0 dengan nol. Jadi dapat disimpulkan sebagai berikut :

a^f(x) = b^f(x) ? f(x) = 0

Bentuk persamaan a^f(x) adalah b^g(x)

contohnya:juga diberikan persamaan a^f(x) = b^g(x) dengan a=b ; a,b >0 ; a,b ?1, dan f(x) ? g(x). Himpunan penyelesaian untuk bentuk persamaan eksponen ialah dapat logaritmakan ke2 ruas,contohnya :

log a^f(x) adalah log b^g(x)

Bentuk Persamaan A{a^f(x)}² + B{a^f(x)}+ C = 0

Untuk menentukan penyelesaian persamaan eksponen yang berbentuk persamaan kuadrat dapat kita dikerjakan dengan cara-cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna maupun rumus abc.

Bentuk persamaan f(x)^g(x) =1 ; f(x)?g(x)

Untuk dapat menyelesaikan persamaan eksponen dengan bentuk berikut yaitu, lakukanlah cara-cara berikut adalah

1. g(x)=0 karena ruas kanan nilainya 1 berarti g(x) harus sama dengan nol.

2. f(x)=-1, dengan syarat g(x) harus genap.

Bentuk persamaan f(x)^g(x) adala f(x)^h(x)

Untuk nilai g(x) ? h(x). Himpunan dapat penyelesaian dengan bentuk eksponen tersebut diperoleh dari 4 kemungkinan berikut adalah :

1. g(x)=h(x0 karena bilangan pokok sudah sama maka pangkatnya harus sama.

2. f(x)=1 karena g9x) ? h(x) maka bilangan pokok harus bernilai 1 (satu) agar persamaan bernilai benar.

3. f(x)=-1, ber akibat g(x) dan h(x) harus sama-sama jumlah genap maupun sama-sama bernilai ganjil.

4. f(x)=0, dengan g(x) dan h(x) masing-masing bernilai positif dituliskan g(x)>0 atau h(x)>0.

Betuk persamaan g(x)^f(x) = h(x)^f(x)

persamaan diatas akan bernilai benar jika yakni:

a. g(x)=h(x)

Fungsi dari Logaritma

Bentuk eksponen ataupun perpangkatan dapat kita tulis dalam bentuk logaritma.dengan demikian, Secara umum dapat juga ditulis contohnya :

Jika ab adalah c dengan a > 0 dan a ? 1 maka alog c adalah b dalam hal ini juga disebut basis maupun pokok logaritma dan c merupakan bilangan yang dilogaritmakan.

Bentuk umum dari fungsi logaritma matematika yaitu Jika ay = x dengan a =0 dan a ? 1 maka y =alog x

mempunyai sifat-sifat :

• semua x > 0 terdefinisi
• jika x mendekati no maka nila yg diberikan akan besar dan positif
• untuk x=1 maka y=o
• untuk x > 1 maka y negatif sehingga jika nilai y semakin kecil maka nilai x semakin besar .

Grafik Fungsi y =alog x untuk a >0

sifat – sifat sebagai berikut adalah

• jika x semakin mendekati no maka nilai y kecil sekali dan negatif
• untuk x=1 maka y=0
• untuk x > 1 maka nilai y positif sehingga jika x semakin besar maka y semakin besar.

sumber : https://rumusrumus.com/fungsi-eksponen-dan-logaritma-matematika/#!

Share:

Read More

TRIGONOMETRI

TRIGONOMETRI

Pengukuran Sudut

Berdasarkan gambar di atas dapat kita simpulkan bahwa pengukuran sudut merupakan salah satu aspek penting dalam pengukuran dan pemetaan kerangka maupun titik-titik detail.Sistem besaran sudut yang dipakai juga berbeda antara satu dengan yang lainnya. Sistem besaran sudut pada pengukuran dan pemetaan dapat terdiri dari:

• Sistem Besaran Sudut Seksagesimal
• Sistem Besaran Sudut Sentisimal
• Sistem Sesaran Sudut Radian

Dasar untuk mengukur besaran sudutnya seperti suatu lingkaran yang dibagi menjadi empat bagian, yang dinamakan kuadran yaitu Kudran I, II, III dan kuadran IV.

Untuk cara sexagesimal lingkaran dapat dibagi menjadi 360 bagian yang sama dan tiap bagiannya disebut derajat. Maka 1 kuadran dalam lingkaran tersebut = 900.

1o = 60’ 1’ = 60” 1o = 3600”

Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku – Siku

 Untuk definisi perbandingan trigonometri sudut siku-siku pertama adalah:

 Dan untuk definisi perbandingan trigonometri sudut siku-siku kedua, adalah:

 

Nilai Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut – Sudut Istimewa

Nilai perbandingan memiliki beberapa tabel yang akan memudahkan kamu untuk menemukan hasilnya. Tabel itu sendiri memiliki 2 jenis tabel Istimewa. Ada apa saja? Yuk, perhatikan tabel di bawah ini:

Tabel perbandingan trigonometri sudut istimewa pertama

Tabel perbandingan trigonometri sudut istimewa kedua

Perbandingan Sudut dan Sudut Relasi Trinogometri I

Perbandingan sudut dan relasi trigonometri merupakan perluasan dari definisi dasar trigonometri tentang kesebangunan pada segitiga siku-siku yang hanya memenuhi sudut kuadran I dan sudut lancip (0 − 90°). Untuk contohnya kamu bisa perhatikan gambar di bawah ini ya!

 

Perbandingan Sudut dan Sudut Relasi Trigonometri II

Untuk setiap α lancip, maka (90° + α) dan (180° − α) akan menghasilkan sudut kuadran II. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut tersebut dinyatakan sebagai berikut:

 

Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri adalah kesamaan yang memuat perbandingan trigonometri dari suatu sudut. Sebuah identitas trigonometri dapat ditunjukkan kebenarannya dengan tiga cara. Cara pertama, dimulai dengan menyederhanakan ruas kiri menggunakan identitas sebelumnya sampai menjadi bentuk yang sama dengan ruas kanan. Cara kedua, mengubah dan menyederhanakan ruas kanan sampai menjadi bentuk yang sama dengan ruas kiri. Cara ketiga, mengubah baik ruas kiri maupun ruas kanan ke dalam bentuk yang sama.

Ada beberapa rumus identitas trigonometri yang perlu kamu ketahui seperti:

sumber : https://blog.ruangguru.com/apa-itu-trigonometri

Share:

Read More

FUNGSI KOMPOSISI

FUNGSI KOMPOSISI

Fungsi komposisi merupakan penggabungan operasi dua jenis fungsi f(x) dan g(x) sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru. Operasi fungsi komposisi biasa dilambangkan dengan "o" dan dibaca komposisi atau bundaran. Fungsi baru yang dapat terbentuk dari f(x) dan g(x) adalah:

1. (f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f

2. (g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g

Fungsi tunggal tersebut merupakan fungsi yang dapat dilambangkan dengan huruf “f o g” atau juga dapat dibaca “fungsi f bundaran g”. Fungsi “f o g” adalah  fungsi g yang dikerjakan terlebih dahulu kemudian dilanjutkan dengan f. Sedangkan, untuk fungsi “g o f” dibaca fungsi g bundaran f. Jadi, “g o f” adalah fungsi dengan f dikerjakan terlebih dahulu daripada g.

Untuk memahami fungsi ini, perhatikan gambar berikut:

Dari rumus di atas, definisi yang kita dapatkan adalah :

Jika f : A → B ditentukan dengan rumus y = f(x)

Jika g : B → C ditentukan dengan rumus y = g(x)

Maka, didapatkan hasil fungsi g dan f:

h(x) = (gof)(x) = g( f(x))

Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa fungsi yang melibatkan fungsi f dan g dapat ditulis :

• (g o f)(x) = g(f(x))
• (f o g)(x) = f(g(x))

Terdapat sifat-sifat pada fungsi komposisi yang dijelaskan pada gambar di bawah ini.

Jika f : A → B , g : B → C , h : C → D, maka berlaku :

Okay Squad, sekarang kita coba kerjakan contoh soal di bawah ini supaya kamu semakin mengerti dengan fungsi komposisi.

1. Jika f(x) = 2x + 3 dan (f o g) = 2x² + 6x – 7, maka berapakah hasil dari g(x) ?

Jawab:

(f o g)(x) = 2x² + 6x – 7

f(g(x)) = 2x² + 6x – 7

2 (g(x)) + 3 = 2x² + 6x – 7

2 (g(x)) = 2x² + 6x -10

Jadi, g(x) = x² + 3x - 5

2.  Jika (f o g)(x) = x² + 3x + 4 dan g(x) = 4x – 5. Berapakah nilai dari f(3)?

Jawab:

(f o g)(x) = x² + 3x + 4

f (g(x)) = x² + 3x + 4

g(x) = 3 maka,

4x – 5 = 3

4x = 8

x = 2

Karena f (g(x)) = x² + 3x + 4 dan untuk g(x) = 3 didapat x = 2

Sehingga : f (3) = 2² + 3 . 2 + 4 = 4 + 6 + 4 = 14

sumber : https://blog.ruangguru.com/penggabungan-dua-fungsi-menggunakan-fungsi-komposisi

Share:

Read More